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（新课标）2015-2016高一数学暑假作业（四）

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文档简介

2015-2016下期高一数暑假作业四
第I卷（选择题）
本套试卷的知识点：三角函数 三角恒等变换 平面向量 算法 统计 概率 圆与方程
1.如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
2.函数y=﹣cos的部分图象是（　　）
A． B． C． D．
3.已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4.函数f（）=tan（﹣）的单调递减区间为（　　）
A．（π﹣，π+），∈ B．（π﹣，π+），∈
C．（π﹣，π+），∈ D．（π，（+1）π），∈
5.将函数f（）=2sin（2﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6.方程（2+y2﹣4）=0与2+（2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（　　）
A．都表示一条直线和一个圆
B．都表示两个点
C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆
D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
7.已知向量=（1，2），=（，4），若向量∥，则=（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
8.已知与y之间的一组数据：
0123ym35.57已求得关于y与的线性回归方程为=2.1+0.85，则m的值为（　　）
A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5
9.根据如图框图，当输入为6时，输出的y=（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
10.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）
A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
第II卷（非选择题）
11.已知向量=（1，﹣2），=（﹣2，2）则向量在向量方向上的投影为　　．
12.已知，α，β都是第二象限角，则cos（α+β）=　　．
13.已知函数f（）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）的值为　 　．
14.如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则的值为　 　．
15.（1）计算：（﹣）0+lne﹣+8+log62+log63；
（2）已知向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cosθ的值．
16.已知函数f（）=Asin（ω+θ）+1，（A＞0，0＜θ＜π），振幅为1，图象两个相邻最高点间距离为π，图象的一条对称轴方程为，若将f（）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g（）图象．
（1）求f（）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．
17.已知圆C：2+y2﹣2﹣7=0．
（1）过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程
（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB的中点D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．
2015-2016下期高一数暑假作业四
试卷答案
1.A
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值，再求扇形的面积即可．
【解答】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO=，
从而弧长为α?r=，面积为××=
故选A．
【点评】本题考查扇形的面积、弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
2.D
【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．
【解答】解：设y=f（），则f（﹣）=cos=﹣f（），f（）为奇函数；
又时f（）＜0，此时图象应在轴的下方
故应选D．
【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．
3.B
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．
【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，
∴2sinθcosθ=．
∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
4.B
【考点】正切函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据正切函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：f（）=tan（﹣）=﹣tan（﹣），
由π﹣＜﹣＜π+，
解得π﹣＜＜π+，∈，
即函数的递减区间为（π﹣，π+），∈，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数单调递减区间的求解，根据正切函数的性质是解决本题的关键．
5.B
【考点】函数y=Asin（ω+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律可得所得图象对应的函数的解析式，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得m的最小值．
【解答】解：将函数f（）=2sin（2﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（+m）﹣]=2sin（2+2m﹣）的图象；
根据所得图象对应的函数为偶函数，则2m﹣=π+，∈，即 m=+，
则m的最小值为，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
6.D
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由（2+y2﹣4）=0，得=0或2+y2﹣4=0，整理后可得曲线表示一条直线和一个圆；由2+（2+y2﹣4）2=0，得2=0且2+y2﹣4=0，求得=0，y=﹣2或=0，y=2，则答案可求．
【解答】解：由（2+y2﹣4）=0，得=0或2+y2﹣4=0，即=0或2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；
由2+（2+y2﹣4）2=0，得2=0且2+y2﹣4=0，即=0，y=﹣2或=0，y=2，曲线表示点（0，﹣2）或（0，2）．
∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点．
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了曲线的方程与方程的曲线的概念，是基础题．
7.A
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题．
【分析】根据 向量=（1，2），=（，4），向量∥，得到 4﹣2=0，求出 的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（，4），向量∥，则 4﹣2=0，=2，
故选 A．
【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到 4﹣2=0，是解题的关键．
8.D
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．
【解答】解：∵==， =，
∴这组数据的样本中心点是（，），
∵关于y与的线性回归方程=2.1+0.85，
∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，
∴m的值为0.5．
故选：D．
【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．
9.D
【考点】循环结构．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当=﹣3时不满足条件≥0，计算并输出y的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
=6
=3
满足条件≥0，=0
满足条件≥0，=﹣3
不满足条件≥0，y=10
输出y的值为10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的的值是解题的关键，属于基础题．
10.D
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴所求概率为0.75．
故选：D．
【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
11.﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出两向量夹角，代入投影公式即可．
【解答】解：||=2，=﹣2﹣4=﹣6．∵cos＜＞=．
∴向量在向量方向上的投影||cos＜＞===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算及投影的含义，属于基础题．
12.
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可求值得解．
【解答】解：∵，α，β都是第二象限角，
∴cosα=﹣=﹣，sinβ==，
∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=（﹣）×（﹣）﹣×=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.3
【考点】由y=Asin（ω+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（）的解析式，从而求得f（π）的值．
【解答】解：由函数f（）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω，0，|φ|＜）的部分图象，
可得A+B=4，﹣A+B=0， =﹣，
求得B=2，A=2，ω=2，∴f（）=2sin（2+φ）+2．
再根据图象过点（，2），可得 sin（2+φ）=0，∴φ=，
f（）=2sin（2+）+2，∴f（π）=2sin（2π+）+2=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ω+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ω+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．
14.4
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．
【分析】可连接CE，根据条件便可说明AE为圆的直径，从而得到△ADE为等边三角形，这便得到∠EAC=60°，AE=4，从而进行数量积的计算便可得出的值．
【解答】解：如图，连接CE，∵；
∴∠AEC=∠DEC；
∴CE为∠AED的角平分线；
又C是AD中点，即CE为△ADE底边AD的中线；
∴AE=DE；
∴CE⊥AD；
∴∠ACE=90°；
∴AE为圆的直径；
∴AE=4，DE=4；
又AD=4；
∴∠EAC=60°；
∴．
故答案为：4．
【点评】考查等弧所对的圆周角相等，三角形的中线和角平分线重合时，这个三角形为等腰三角形，圆的直径所对的圆周角为直角，以及向量数量积的计算公式．
15.
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；三角函数的化简求值．
【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】（1）利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．
（2）利用向量共线列出方程，然后求解三角函数值．
【解答】（本小题满分12分）
解析：（1）原式=1+1﹣5+2+1=0；　　　　　 　 …（6分）
（2）∵向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，
∴sinθ=﹣2cosθ，①…（9分）
又sin2θ+cos2θ+=1，②
由①②解得cos2θ=，…（11分）
∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣．　　　　　 …（12分）
【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力．
16.
【考点】函数y=Asin（ω+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据振幅求A，由周期求ω，根据图象的对称轴方程求出θ，可得f（）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（）的增区间．
（2）先由y=Asin（ω+φ）的图象变换规律求得g（）的解析式，再利用三角恒等变换判断三角形的形状．
【解答】解：（1）由题意可得A=1， =π，∴ω=2，
再根据图象的一条对称轴方程为，可得2+θ=π+，∈，
即θ=π+，∴θ=，f（）=sin（2+）+1．
令2π﹣≤2+≤2π+，可得π﹣≤≤π+，
故函数f（）的增区间为[π﹣，π+]，∈．
（2）将f（）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（﹣）+]+1=sin2+1的图象；
再向下平移一个单位得到函数g（）=sin2的图象．
在△ABC中，若，则sinBsinC==，
即2sinBsinC=1﹣cos（B+C）=1﹣cosBcosC+sinBsinC，
化简可得 cos（B﹣C）=1．
再结合B﹣C∈（﹣π，π），可得B=C，故△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查由由函数y=Asin（ω+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，y=Asin（ω+φ）的图象变换规律，三角恒等变换，属于中档题．
17.【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．
【分析】（1）由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在；若斜率存在，设出斜率为，由直线过P点，由P的坐标及设出的表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到所求直线的方程．
（2）求出CD的方程，可得D的坐标，利用D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，求出b，再利用b的范围，即可求出直线l的方程．
【解答】解：（1）由2+y2﹣2﹣7=0得：（﹣1）2+y2=8…（2分）
当斜率存在时，设直线方程为y﹣4=（﹣3），即﹣y﹣3+4=0
∴弦心距，解得
∴直线方程为y﹣4=（﹣3），即3﹣4y+7=0…（5分）
当斜率不存在时，直线方程为=3，符合题意．
综上得：所求的直线方程为3﹣4y+7=0或=3…（7分）
（2）设直线l方程为y=+b，即﹣y+b=0
∵在圆C中，D为弦AB的中点，∴CD⊥AB，∴CD=﹣1，∴CD：y=﹣+1
由，得D的坐标为…（10分）
∵D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，
∴=2，解得…（14分）
∵直线l与圆C相交于A、B，∴C到直线l的距离，∴﹣5＜b＜3…（16分）
∴b=﹣，则直线l的方程为﹣y﹣=0…（17分）
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，注意合理地进行等价转化．


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