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（新课标）2015-2016高一数学暑假作业（六）

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文档简介

2015-2016下期高一数暑假作业六
本套试卷的知识点：三角函数 三角恒等变换 平面向量 算法 统计 概率 圆与方程
第I卷（选择题）
1.已知函数f（）=，则f[f（）]=（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A． =（0，0），=（2，3） B． =（1，﹣3），=（2，﹣6）
C． =（4，6），=（6，9） D． =（2，3），=（﹣4，6）
3.将函数y=sin（﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（　　）
A． B． C． D．
4.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（　　）弧度
A．1 B．2 C．3 D．4
5.下列问题中，应采用哪种抽样方法（　　）
①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；
②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；
③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；
④有甲厂生产的300 个篮球，抽取50个入样．
A．分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样
B．分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样
C．抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样
D．抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法
6.下列问题中是古典概型的是（　　）
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
7.已知f（）对任意∈[0，+∞）都有f（+1）=﹣f（），且当∈[0，1）时，f（）=，若函数g（）=f（）﹣loga（+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，） C．[，） D．[，]
8.当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出S的值是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．16
9.若，则cosα+sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
10.已知，，则与的夹角（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11.等边△ABC的边长为1，记=， =， =，则?﹣﹣?等于　　．
12.已知向量=（2，1），=10，|+|=5，则||=　 　．
13.（2016新课标高考题）设直线y=+2a与圆C：2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若 QUOTE ，则圆C的面积为 .
14.已知函数f（）=sin（﹣α）+2cos，（其中α为常数），给出下列五个命题：
①存在α，使函数f（）为偶函数；
②存在α，使函数f（）为奇函数；
③函数f（）的最小值为﹣3；
④若函数f（）的最大值为h（α），则h（α）的最大值为3；
⑤当α=时，（﹣，0）是函数f（）的一个对称中心．
其中正确的命题序号为　　（把所有正确命题的选号都填上）
15.已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是，相邻的两对称中心的距离为．
（1）求函数f（）的解析式；
（2）函数y=f（）的图象可由y=sin的图象经过怎样的变化得到．
16.为了了解某校高一女生的身高情况，随机抽取M个高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布如表：
组　别频数频率[146，150）60.12[150，154）80.16[154，158）140.28[158，162）100.20[162，166）80.16[166，170）mn合　计M1（Ⅰ）求出表中字母m，n所对应的数值；
（Ⅱ）在图中补全频率分布直方图；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计该校高一女生身高的中位数（保留两位小数）
17.
如图，三个同样大小的正方形并排一行．
（Ⅰ）求与夹角的余弦值．
（Ⅱ）求∠BOD+∠COD．
2015-2016下期高一数暑假作业六
试卷答案
1.C
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．
【解答】解：∵f（）=﹣tan（2×）=﹣tan=﹣1，
则f（﹣1）=cos[1﹣（﹣1）2]=cos0=1，
故选：C
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式利用代入法进行求解是解决本题的关键．
2.D
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．
【分析】能作为基底的向量需不共线，从而判断哪个选项的两向量不共线即可，而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线．
【解答】解：A.0×3﹣2×0=0；
∴共线，不能作为基底；
B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）=0；
∴共线，不能作为基底；
C.4×9﹣6×6=0；
∴共线，不能作为基底；
D.2×6﹣（﹣4）×3=24≠0；
∴不共线，可以作为基底，即该选项正确．
故选：D．
【点评】考查平面向量的基底的概念，以及共线向量的坐标关系，根据向量坐标判断两向量是否共线的方法．
3.C
【考点】函数y=Asin（ω+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin，整理后答案可得．
【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin（﹣），再将所得的图象向左平移个单位，
得函数y=sin，即y=sin（﹣），
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．
4.B
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题．
【分析】利用面积公式求出弧长，然后求出扇形所对的圆心角．
【解答】解：扇形的面积为1，所以扇形的弧长为2，
所以扇形所对圆心角的弧度是2．
故选B
【点评】本题是基础题，考查扇形的有关知识，考查计算能力，送分题．
5.C
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．
【解答】解：总体容量较小，用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样，
故选C．
【点评】本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6.D
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】应用题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据古典概型的特征：有限性和等可能性进行排除即可．
【解答】解：A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型的两个特征：有限性和等可能性的合理运用．
7.C
【考点】函数零点的判定定理；抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】根据f（）的周期和[0，1）的解析式画出f（）在[0，4]的图象，根据图象交点个数列出不等式组解出a的范围．
【解答】解：∵f（+1）=﹣f（），∴f（+2）=﹣f（+1）=f（），∴f（）的周期为2．
当∈[1，2）时，﹣1∈[0，1），∴f（）=﹣f（+1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣1）=1﹣．
作出f（）和y=loga（+1）的函数图象如图：
∵函数g（）=f（）﹣loga（+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，
∴loga（2+1）＞﹣1，loga（4+1）≤﹣1．
解得≤a．
故选C．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数零点个数的判断，作出f（）的图象是关键．
8.A
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=4时，不满足条件m＜4，退出循环，输出S的值，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n=4，m=1，S=1
满足条件m＜4，S=1+1=2，m=1+1=2
满足条件m＜4，S=2+2=4，m=2+1=3
满足条件m＜4，S=4+3=7，m=3+1=4
不满足条件m＜4，退出循环，输出S的值为7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
9.C
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．
【解答】解：∵，
∴，
故选C
【点评】本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．
10.C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】常规题型．
【分析】利用向量的多项式乘法展开，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，求出向量夹角的余弦，利用向量夹角的范围，求出向量的夹角．
【解答】解：设两个向量的夹角为θ
∵
∴
∴9+16×3+12×4cosθ=33
∴
∵θ∈[0，π]
∴θ=120°
故选C．
【点评】求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积，再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意夹角的范围，求出夹角．
11.
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．
【分析】由正三角形可知两两向量夹角都是120°，代入数量积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴中任意两向量的夹角都是120°．
∴=1×1×cos120°=﹣．
∴?﹣﹣?=﹣=．
故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量夹角的判断，属于基础题．
12.5
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】求出，求出|+|的平方，利用，即可求出||．
【解答】解：因为向量=（2，1），所以=．
因为=10，
所以|+|2==5+2×10+=，
所以=25，则||=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力．
13. 【答案】
考点：直线与圆
14.①④⑤
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】推导出f（）=5﹣4sinαsin（+θ），对于①，当α=π+π2（∈），f（）=cos或3cos，则为偶函数；对于②，f（）不为奇函数；对于③，f（）的最小值为﹣5﹣4sinα；对于④，f（）的最大值为h（α）=5﹣4sinα，h（α）的最大值为3；对于⑤，（﹣，0）是函数f（）的一个对称中心．
【解答】解：函数f（）=sin（﹣α）+2cos=sincosα+cos（2﹣sinα）
=cos2α+（2﹣sinα）2sin（+θ）（θ为辅助角）
=5﹣4sinαsin（+θ）．
对于①，由f（）=sincosα+cos（2﹣sinα），当α=π+（∈），cosα=0，sinα=±1，
f（）=cos或3cos，则为偶函数．则①对；
对于②，由f（）=sincosα+cos（2﹣sinα），可得2﹣sinα∈[1，3]，即cos的系数不可能为0，
则f（）不为奇函数，则②错；
对于③，f（）的最小值为﹣5﹣4sinα，则③错；
对于④，f（）的最大值为h（α）=5﹣4sinα，当sinα=﹣1时，h（α）的最大值为3，则④对；
对于⑤，当α=时，f（）=sincos+cos（2﹣sin）=cos+sin=3sin（+），
当=﹣，f（）=3sin（﹣+）=0，即有（﹣，0）是函数f（）的一个对称中心，则⑤对．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
15.【考点】函数y=Asin（ω+φ）的图象变换；由y=Asin（ω+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由相邻的两对称中心的距离为，可求周期，利用周期公式可求ω，由，结合范围|φ|＜π，可求，从而可求函数解析式．
（2）利用函数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律即可得解．
解法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，再ω，就是横坐标变为原来的倍；
解法二：将函数y=sin的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，是先ω，再φ的变换过程．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）因为f（）相邻的两对称中心的距离为，
所以，即T=π
所以
所以f（）=sin（2+φ）
因为，
所以
因为|φ|＜π，所以
所以
（2）解法一：
将函数y=sin的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
得到的图象
然后将的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的
得到的图象
解法二：将函数y=sin的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的
得到y=sin2的图象
然后将y=sin2的图象纵坐标不变横坐标向左平移个单位
得到的图象
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ω+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ω+φ）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，建立关系即可解得．
（Ⅱ）画出即可，
（Ⅲ）设中位数为，则154＜＜158，利用定义即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意M==50，落在区间．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）若方程f（）=有三个解，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合即可试求实数的取值范围；
（Ⅱ）作出函数f（）的图象，利用数形结合以及函数定义域和值域之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）若方程f（）=有三个解，
当=0时，方程2﹣2||=，成立，
即当=0是方程的一个根，
当≠0时，等价为方程2﹣2||=有两个不同的根，
即=﹣，
设g（）=﹣，
则g（）=，
作出函数g（）的图象如图：
则当﹣2＜＜2时，=﹣有两个不同的交点，
即此时=﹣有两个非零的根，f（）=有三个解，
综上﹣2＜＜2．
（Ⅱ）作出函数f（）的图象如图：
则函数f（）的值域为．
则m≥﹣1，
若m=﹣1，则f（﹣1）=﹣1，
由f（）=﹣1，得=﹣1或=1，
即当m=﹣1，n=0时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件．

【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合是解决本题的关键．
17.【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】设正方形的边长为1，可得，，，的坐标，（1）cos＜，＞=代入数据计算可得；（2）同理可得cos∠BOD，cos∠COD的值，由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值，可得cos（∠BOD+∠COD）的值，结合角的范围可得答案．
【解答】解：设正方形的边长为1，则A（1，1），B（2，1），C（3，1），D（3，0），
故=（1，1），=（2，1），=（3，1），=（3，0）
（1）可得cos＜，＞===，
（2）同理可得cos∠BOD===，
故可得sin∠BOD==，
cos∠COD===，sin∠COD=，
故cos（∠BOD+∠COD）==，
由角的范围可知∠BOD+∠COD=
【点评】本题考查数量积表示向量的夹角，涉及和差角三角函数，属中档题．


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