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（新课标）2015-2016高一数学暑假作业（三）

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文档简介

2015-2016下期高一数暑假作业（三）
本套试卷的知识点：三角函数 三角恒等变换 平面向量 算法 统计 概率 圆与方程
第I卷（选择题）
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A． =（0，0），=（2，3） B． =（1，﹣3），=（2，﹣6）
C． =（4，6），=（6，9） D． =（2，3），=（﹣4，6）
2.下列各角中，与60°角终边相同的角是（　　）
A．﹣60° B．600° C．1020° D．﹣660°
3.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y=ln|| B．y= C．y=sin D．y=cos
4.为了得到函数y=sin3的图象，可以将函数y=sin（3+）的图象（　　）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
5.求值： =（　　）
A．tan 38° B． C． D．﹣
6.当曲线与直线﹣y﹣2+4=0有两个相异的交点时，实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7.直线﹣y+4=0被圆（+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　）
A． B． C． D．
8.已知函数f（）=2cos（sin+cos），则下列说法正确的是（　　）
A．f（）的最小正周期为2π
B．f（）的图象关于点对称
C．f（）的图象关于直线对称
D．f（）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象
9.若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为（　　）
A． B． C． D．
10.函数y=sin（π+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（　　）

A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）11.等边△ABC的边长为1，记=， =， =，则?﹣﹣?等于　　．
12.已知向量=（2，1），=10，|+|=5，则||=　 　．
13.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=　　．
14.过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于　　．
评卷人得分三、解答题（本题共3道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,共0分）15.点A（1，7）是锐角α终边上的一点，锐角β满足sinβ=，
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
16.已知：平面上两个不相等向量， =（3，4），=（+1，2）
（1）若（+）⊥（﹣），求实数；
（2）若=14，求与的夹角的余弦值．
17.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
2015-2016下期高一数暑假作业三
答案
1.D
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．
【分析】能作为基底的向量需不共线，从而判断哪个选项的两向量不共线即可，而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线．
【解答】解：A.0×3﹣2×0=0；
∴共线，不能作为基底；
B.1×（﹣6）﹣2×（﹣3）=0；
∴共线，不能作为基底；
C.4×9﹣6×6=0；
∴共线，不能作为基底；
D.2×6﹣（﹣4）×3=24≠0；
∴不共线，可以作为基底，即该选项正确．
故选：D．
【点评】考查平面向量的基底的概念，以及共线向量的坐标关系，根据向量坐标判断两向量是否共线的方法．
2.D
【考点】终边相同的角．
【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】与60°终边相同的角一定可以写成 ×360°+60°的形式，∈，检验各个选项中的角是否满足此条件．
【解答】解：与60°终边相同的角一定可以写成 ×360°+60°的形式，∈，
令=﹣2 可得，﹣660°与60°终边相同，
故选 D．
【点评】本题考查终边相同的角的特征，凡是与α 终边相同的角，一定能写成×360°+α，∈的形式．
3.A
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据偶函数的定义，对数函数的单调性，以及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】解：A．y=ln||的定义域为{|≠0}，且ln|﹣|=ln||；
∴该函数为偶函数；
＞0时，y=ln||=ln为增函数；
即该函数在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；
B.，∈（0，1）时该函数无意义；
∴该函数在（0，+∞）上单调递增是错误的，即该选项错误；
C．y=sin是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；
D．y=cos在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．
故选：A．
【点评】考查奇函数和偶函数的定义，以及对数函数和余弦函数的单调性．
4.A
【考点】函数y=Asin（ω+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】通过化简函数y=sin（3+）的表达式，只需把函数的图象向右平移个单位，即可达到目标．
【解答】解：由于函数y=sin（3+）=sin[3（+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（+﹣）]= sin3的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+?）的图象平移变换，属于中档题．
5.C
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和的正切公式，计算求得结果．
【解答】解： =tan（49°+11°）=tan60°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
6.C
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数的取值范围．
【解答】解：化简曲线，得2+（y﹣1）2=4（y≥1）
∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．
∵直线﹣y﹣2+4=0可化为y﹣4=（﹣2），
∴直线经过定点A（2，4）且斜率为．
又∵半圆与直线﹣y﹣2+4=0有两个相异的交点，
∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），
当直线的斜率大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点．
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，
解之得=，即AD=．
又∵直线AB的斜率AB==，∴直线的斜率的范围为∈．
故选：C

【点评】本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
7.B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．
【分析】利用圆心到直线的距离，半弦长，半径的关系，求解即可．
【解答】解：圆的圆心到直线﹣y+4=0的距离为： =0．
直线被圆（+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于圆的直径：2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
8.C
【考点】二倍角的余弦．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角公式化简可得f（）=sin（2+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．
【解答】解：∵f（）=2cos（sin+cos）=2sincos+2cos2=sin2+1+cos2=sin（2+）+1，
∴f（）的最小正周期为，A错误；
由f（﹣）=sin0+1=1，B错误；
由f（）=sin+1=1，C正确；
f（）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2+）+1，不为偶函数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．
9.D
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件可得=cos（+θ），再利用二倍角的余弦公式求得cos（+2θ）的值．
【解答】解：∵sin（﹣θ）==cos（+θ），∴cos（+2θ）=2﹣1=2×﹣1=﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
10.A
【考点】两角和与差的正切函数；由y=Asin（ω+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．
【解答】解：函数y=sin（π+φ）
∴T==2，
过P作PD⊥轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP=
在直角三角形中有sin∠APD=，cos∠APD=；cos∠BPD=，sin∠BPD=
∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）==
cosθ=
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．
11.
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．
【分析】由正三角形可知两两向量夹角都是120°，代入数量积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴中任意两向量的夹角都是120°．
∴=1×1×cos120°=﹣．
∴?﹣﹣?=﹣=．
故答案为．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量夹角的判断，属于基础题．
12.5
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】求出，求出|+|的平方，利用，即可求出||．
【解答】解：因为向量=（2，1），所以=．
因为=10，
所以|+|2==5+2×10+=，
所以=25，则||=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力．
13.
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin（75°﹣30°）=sin45°=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
14.﹣
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在轴上方的部分（含于轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，从而确定直线斜率
﹣1＜＜0，用含的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率的值．
【解答】解：由，得
2+y2=1（y≥0）
∴曲线表示単位圆在轴上方的部分（含于轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合
则﹣1＜＜0
∴直线l的方程为：
即
则圆心O到直线l的距离
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=
∴
=
=
=
令
则
当
S△AOB有最大值为
此时，
∴
又∵﹣1＜＜0
∴
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．
15.
【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；函数思想；数模型法；三角函数的求值．
【分析】（1）直接利用正切函数的定义求得tanα，再由两角和的正切求得tan（α+β）的值；
（2）由tan（α+2β）=tan[α+（α+β）]，展开两角和的正切求得tan（α+2β），结合角的范围得答案．
【解答】解：（1）由题知，tanα=7，tan，
∴tan（α+β）=；
（2）∵tan（α+2β）=tan[α+（α+β）]= =，
且α+2β∈（0，），∴．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的正切，是中档题．
16.
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）根据向量的垂直的条件得到关于的方程，解得即可，
（2）先根据向量的数量积求出的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
【解答】解：（1）∵=（3，4），=（+1，2），（+）⊥（﹣），
∴（+）（﹣）=2﹣2=32+42﹣（+1）2﹣﹣42=0，
∴=﹣或=2，
（2）∵=14，
∴3（+1）+4×2=14，
∴=1，
∴=（2，2），
∴||=2，||=5，
∴cos＜，＞===．
【点评】本题考查了向量垂直的条件以及向量的夹角公式，属于基础题．
17.
【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；
（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（3）确定满足0≤≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤≤1，0≤y≤1，点（，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2﹣y﹣1=0，令y=0可得=，令y=1可得=1
∴在，y∈[0，1]时满足2﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．


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