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长沙9年中考第21课时 锐角三角函数及其应用(Word版)

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文档简介


第四单元 三角形
第二十一课时 锐角三角形函数及其应用
长沙9年中考 (2009~2017)
命题点1 解直角三角形的实际应用(9年6考)
类型一 解一个直角三角形
1.(2015长沙11题3分)如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为(  )
第1题图
A. eq \f(30,tanα)米
B. 30sinα米
C. 30tanα米
D. 30cosα米
2.(2009长沙19题6分)某校九年级数兴趣小组的同开展了测量湘江宽度的活动.如图,他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向,然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处,测得B在点C的南偏西60°方向上,他们测得的湘江宽度是多少米(结果保留整数,参考数据:eq \r(2)≈1.414,eq \r(3)≈1.732)
 
第2题图
3. (2017长沙22题8分)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.
(1)求∠APB的度数;
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全
第3题图
类型二 解两个直角三角形
4.(2016长沙11题3分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A与楼的水平距离为120 m,这栋楼的高度为(  )
A. 160 eq \r(3) m    B. 120eq \r(3) m
C. 300 m D. 160 eq \r(2) m
 
第4题图
5.(2010长沙19题6分)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆AB高度是3 m,从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况显示牌BC的高度.
 
第5题图
类型三 与特殊四边形结合
6.(2011长沙24题9分)如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图,上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC=4.8米,引桥水平跨度AC=8米.
(1)求水平平台DE的长度;
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米,求两段楼梯AD与BE的长度之比.(参考数据:取sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
 
第6题图
考情导向
7.(2017张家界)位于张家界核心景区内的贺龙铜像,是我国近百年来最大的铜像.铜像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,求像体AD的高度(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)
第7题图
8.(2013岳阳)某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2 m,为保障安全,校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30°.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号);
(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3 m处有一株大树,修新楼梯AD时底端D是否会触到大树并说明理由.
第8题图
9.(2016邵阳)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,eq \r(3)≈1.73)
第9题图
10.(2017衡阳)衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内.如图,为了测量来雁塔的高度,在E处用高为1.5米的测角仪AE,测得塔顶C的仰角为30°,再向塔身前进10.4米,又测得塔顶C的仰角为60°,求来雁塔的高度.(结果精确到0.1米)
第10题图
11.(2015岳阳)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为AC,椅面宽为BE,椅脚高为ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED=35 cm,求椅子高AC约为多少(参考数据:tan53°≈eq \f(4,3),sin53°≈eq \f(4,5),tan64°≈2,sin64°≈eq \f(9,10))
第11题图
12.(2016常德)南海是我国的南大门.如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只.问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数,参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,eq \r(3)≈1.732,eq \r(2)≈1.414)
第12题图
答案
1.C 【解析】根据已知条件,在Rt△ABO中,tan∠ABO=eq \f(AO,BO),且BO=30米, ∠ABO=α,∴AO=30tanα米.
2.解:由题意得,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,AC=550(米),
∴AB=AC·tan∠ACB=550eq \r(3)≈952.6≈953(米).(4分)
答:他们测得的湘江宽度约为953米.(6分)
3. 解:(1)根据题意可知,∠PAB=90°-60°=30°,∠ABP=90°+30°=120°,
∴∠APB=180°-30°-120°=30°;(3分)
(2)如解图,过点P作PC⊥AE于点C,
第3题解图
∵∠APB=30°=∠PAB,
∴AB=BP,
∵海监船以每小时50海里的速度航行1小时从A处到达B处,
∴AB=PB=50(海里),(5分)
∵∠PBA=120°,
∴∠PBC=60°,
∴PC=PB·sin∠PBC=50· sin60°=25eq \r(3)(海里),
∵25eq \r(3)>25,
∴海监船不在灯塔P的周围25海里之内,
答:海监船继续向正东方向航行安全.(8分)
第4题解图
4.A 【解析】如解图,作AD⊥BC交BC于点D,AD=120 m,∠BAD=30°,∠CAD=60°,则BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=40eq \r(3) m,CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120eq \r(3) m,∴BC=BD+CD=160eq \r(3) m.
5.解:∵在Rt△ABD中,∠BDA=45°,AB=3 m,
∴AD=3 m,(2分)
在Rt△ADC中,∠CDA=60°,
∵tan60°=eq \f(CA,AD),
∴CA=3eq \r(3) m,(4分)
∴BC=CA-AB=(3eq \r(3)-3) m,
答:路况显示牌BC的高度为(3eq \r(3)-3) m.(6分)
6.解:(1)如解图,延长线段BE,与AC相交于点F,
第6题解图
∵AD∥BF,DE∥AC,
∴四边形AFED是平行四边形,(2分)
∴DE=AF,∠BFC=∠A=37°,
在Rt△BCF中,tan∠BFC=tan37°=eq \f(BC,FC),
∴CF=eq \f(BC,tan37°)=eq \f(4.8,0.75)=6.4(米),(4分)
∴DE=AF=AC-CF=8-6.4=1.6(米),
答:水平平台DE的长度为1.6米;(5分)
(2)如解图,延长线段DE,交BC于点G,
∵DG∥AC,
∴∠BGM=∠C=90°,
∴四边形MNCG是矩形,(7分)
∴CG=MN=3(米),
∵BC=4.8(米),
∴BG=BC-CG=1.8(米),
∵DG∥AC,
∴△BEG∽△BFC,
∴eq \f(BE,BF)=eq \f(EG,FC)=eq \f(BG,BC)=eq \f(1.8,4.8)=eq \f(3,8),(8分)
∴eq \f(EF,BE)=eq \f(5,3),
∵AD=EF,
∴eq \f(AD,BE)=eq \f(5,3),
答:两段楼梯AD与BE的长度之比为5∶3.(9分)
7. 解:∵在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴BC=CD=2.3.
在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,
则AC=BC·tan∠ABC=2.3×tan70.5°≈6.5,
∴AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2.
答:像体AD的高度为4.2米.
8. 解:(1)在Rt△ABC中,AB=2,∠ABC=45°,
∴AC=AB·sin∠ABC=2×sin45°=eq \r(2).
答:舞台的高为eq \r(2) m;
(2)在Rt△ACD中,∠ADC=30°,
∴∠DAC=60°,
∴CD=AC·tan∠DAC=eq \r(2)×tan60°=eq \r(6).
∵eq \r(6)<3,
∴修新楼梯AD时底端D不会触到大树.
9. 解:在Rt△OBC中,
∵OC=BC·tan∠OBC,
且tan∠OBC=tan30°=eq \f(\r(3),3),
∴OC=eq \f(\r(3),3)BC,
在Rt△AOC中,OC=OA·sin∠OAC,且sin∠OAC=sin75°,
∴OC=40·sin75°,
∴eq \f(\r(3),3)BC=40·sin75°,
∴BC=eq \f(40·sin75°,\f(\r(3),3))=40·sin75°·eq \r(3)≈67.1 cm.
答:该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1 cm.
10. 解:如解图,依题意得:CD⊥ED,BF⊥ED,AE⊥ED,AG⊥CD(设垂足为G),设CG为米,可得CD=CG+GD=(+1.5)米,
第10题解图
在Rt△CBG中,tan∠CBG=eq \f(CG,BG),
∵∠CBG=60°,
∴BG=eq \f(,\r(3)),
在Rt△CAG中,
tan∠CAG=eq \f(CG,AG),∠CAG=30°,
∴AG=eq \f(3,\r(3))=eq \r(3),
∴AB=eq \r(3)-eq \f(,\r(3))=10.4,
解得:=eq \f(26,5)eq \r(3),
∴CD=eq \f(26,5)eq \r(3)+1.5≈10.5(米).
答:来雁塔的高度约为10.5米.
11. 解:∵AC⊥BE,AC⊥CD,
∴BE∥CD,
∵AC∥DE,
∴四边形BCDE是矩形,
∴BC=DE,BE=CD,∠ACD=∠ABE=90°.
在Rt△ABE中,∠AEB=53°,
∴BE=eq \f(AB,tan∠AEB)=eq \f(AC-BC,tan53°)≈eq \f(AC-35,\f(4,3)),
在Rt△ACD中,∠ADC=64°,
∴CD=eq \f(AC,tan∠ADC)=eq \f(AC,tan64°)≈eq \f(AC,2),
∴eq \f(AC,2)=eq \f(3(AC-35),4),
解得AC=105 cm.
答:椅子高AC约为105 cm.
12. 解:如解图,作AD⊥BC交CB延长线于D,
第12题解图
在Rt△ABD中,∠DAB=30°,
cos∠BAD=eq \f(AD,AB),
∴AD=AB·cos30°=20×eq \f(\r(3),2)=10eq \r(3)(海里),
在Rt△ADC中,∠DAC=75°,cos∠DAC=eq \f(AD,AC),
∴AC=eq \f(AD,cos∠DAC)=eq \f(10\r(3),cos75°)≈eq \f(10×1.732,0.2588)≈67(海里).
答:我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里.

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